Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f `(x)>= 0 (причем равенство f `(x)=0 выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция y= f(x) возрастает на промежутке X.

Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f `(x)=< 0 (причем равенство f `(x)=0 выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция y= f(x) убывает на промежутке X.

Теорема 3. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство f `(x)=0 , то функция y= f(x) постоянна на промежутке X.

Теорема 4. Если функция y= f(x) имеет экстремум в точке x=x₀, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Теорема 5 (достаточные условия экстремума). Пусть функция y= f(x) непрерывна на промежутке X и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x=x₀. Тогда:
а) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x<x₀ выполняется неравенство f `(x)<0 , а при x>x<sub>0</sub> - неравенство f `(x)>0, x=x0 - точка минимума функции y= f(x);
б) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x<x₀ выполняется неравенство f `(x)>0, а при x>x<sub>0</sub> - неравенство f `(x)<0, x=x₀ - точка максимума функции y= f(x);
в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева, и справа от точки x₀ знаки производной одинаковы, то в точке x₀ экстремума нет.